Уникальные учебные работы для студентов


Курсовая работа по решению линейных уравнений

Приложение распечатка программы, результатов. Введение Решение систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ является одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем.

Решение систем линейных уравнений матричным методом

Кроме того, является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований. Применяемые на практике численные методы решения СЛАУ делятся на две группы - прямые итерационные.

В прямых или точных методах решение системы получают за конечное число арифметических действий. К ним относятся известное правило Крамера нахождения решения с помощью определителей, метод последовательного исключения неизвестных метод Гаусса и его модификации, метод прогонки и.

Сопоставление различных прямых курсовая работа по решению линейных уравнений проводится обычно по числу арифметический действий, необходимых для получения решения. Прямые методы являются универсальными и применяются для решения систем до порядка 103. Отметим, что вследствие погрешностей округления при решении задач на ЭВМ прямые методы на самом деле не приводят к точному решению системы. Число итераций n eкоторое необходимо провести для получения заданной курсовая работа по решению линейных уравнений, для многих методов можно найти из теоретических рассмотрений.

Качество различных итерационных методов можно сравнивать по необходимому числу итераций n e. Эти методы особенно предпочтительны для систем с матрицами специального вида - симметричными, трехдиагональными, ленточными и большими разреженными матрицами.

Курсовая работа: Решение системы линейных уравнений:

После проведенного обзора программных средств мы выбрали среду курсовая работа по решению линейных уравнений наиболее подходящую нам как очень удобное средство для разработки данного программного продукта. К прямым или точным методам решения СЛАУ относятся алгоритмы, которые в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить точное решение системы за конечное число арифметических действий.

Чаще всего решение задач такими методами осуществляется поэтапно: Запишем систему линейных алгебраических уравнений в развернутом виде: Если определитель системы отличен от нуля, то она имеет единственное решение. С этой матрицей можно обращаться так же, курсовая работа по решению линейных уравнений и с системой - переставлять строки, прибавлять кратное одной строки к другой, исключая неизвестные и приводя матрицу к треугольному или диагональному виду.

Приведем формальное описание схем некоторых прямых методов. Метод Гаусса схема единственного деления. Алгоритм метода состоит из двух этапов. Первый этап называется прямым ходом метода и заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений, то есть в приведении матрицы А к верхнему треугольному виду ниже главной диагонали все нули.

Обозначим коэффициенты полученного приведенного уравнениядомножим его на коэффициент а21 и вычтем из второго уравнения системы, исключая тем самым х1 из второго уравнения обнуляя коэффициент а12 матрицы. Поступим аналогично с остальными уравнениями и получим новую систему, матрица которой в первом столбце, кроме первого элемента, содержит только нули, то. Первое уравнение в дальнейших преобразования не участвует.

Элементына которые осуществляется деление, называются ведущими элементами метода Гаусса и не должны равняться нулю.

Решение системы линейных уравнений

Прямой ход метода Гаусса заканчивается после n шагов определением. Обратный ход метода Гаусса заключается в последовательном определении компонент решения, начиная с хn и заканчивая х1, по следующим формулам: Метод Гаусса с выбором главного элемента.

Метод заключается в том, что при прямом ходе в алгоритме метода Гаусса на каждом шаге исключения производится выбор наибольшего по модулю элемента в качестве ведущего. Этого достигают перестановкой строк или столбцов матрицы коэффициентов.

В этом случае для невырожденных систем гарантируется, что ведущие элементы не равны нулю, и уменьшается погрешность при делении и последующем вычитании при преобразованиях. Рекомендуется также масштабировать предварительно каждое уравнение исходной системы, разделив на его наибольший по курсовая работа по решению линейных уравнений величине коэффициент.

Это делает рост элементов промежуточных матриц ограниченным. В целях экономии оперативной памяти примерно в 4 раза операции прямого и обратного хода курсовая работа по решению линейных уравнений Гаусса выполняются попеременно.

На первом шаге после приведения первого уравнения исключается неизвестное x1 из второго уравнения, а затем с помощью приведенного второго уравнения - неизвестное x2 из первого. После k-1 таких шагов матрица системы имеет вид. На k-м шаге, используя первые k уравнений, исключаем неизвестные x1. В результате прямого хода матрица системы приводится к диагональному виду с единицами на главной диагонали. Эта модификация метода Гаусса незначительно отличается от метода оптимального исключения.

Операции исключения переменных для каждого приводимого уравнения осуществляют не только ниже, но и выше главной диагонали. Операции с первым уравнением системы полностью аналогичны стандартной схеме.

Второе уравнение системы после приведения и домножения на соответствующие коэффициенты вычитаем не только из третьего и последующих уравнений, но из первого. В результате k таких шагов получаем матрицу. Как и в методе оптимального исключения, матрица системы приводится к диагональному виду и вектором решения является столбец.

Это равенство равносильно n2 числовым равенствам. Разложение матрицы A на множители обычно получают посредством алгоритма, который называется компактной схемой метода Гаусса. Рассмотренный метод можно применять к решению серии систем с одной и той же матрицей. Метод простых итераций Якоби. Затем выбирается начальное приближение - произвольный вектор x 0 - и строится рекуррентная последовательность векторов x 1x 2 . Для сходимости этой последовательности при любом начальном приближении необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы G были по абсолютной величине меньше единицы.

На практике это трудно проверить, и обычно пользуются достаточными условиями сходимости - итерации сходятся, если какая-нибудь норма матрицы меньше единицы, то есть. Чем меньше норма матрицы G, тем быстрее сходится итерационный процесс. Преобразование системы можно осуществить, просто решая каждое i-е уравнение относительно xi: Метод Якоби использует следующий алгоритм построения приближений: Если A - матрица с доминирующей диагональю, то естьто метод Якоби сходится при любом начальном приближении x 0.

Для исследования сходимости удобнее записывать итерационные методы не в координатной, а в матричной форме, курсовая работа по решению линейных уравнений стандартной формы записи итерационных методов. Числовые параметры tk вводят для ускорения сходимости. Способ выбора итерационных параметров определяется при исследовании сходимости метода, когда выясняется при каких значениях параметров метод сходится и когда сходимость будет наиболее быстрой соответствующие параметры называются оптимальными.

Метод сходится для симметричных положительно определенных матриц. Для окончания итерационного процесса используют три способа. При первом определяют величину стабилизации и прекращают вычисления, если она меньше e, то.

Недостатком этого способа является то, что при медленно сходящихся итерациях величина стабилизации может быть малой, хотя приближенное решение сильно отличается от точного. При втором способе вычисляют нормы невязки до начала итераций и на каждой итерации.

Итерации прекращают при выполнении неравенства. При третьем способе предварительно оценивается число итераций, необходимое для получения заданной точности e. Если для погрешности итерационного метода выполняются оценкигде q 0,1то метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q.

Целая часть числа n0 e является минимальным числом итераций, необходимым для получения заданной точности e. Метод Зейделя использует следующий алгоритм построения приближений: Если A - матрица с доминирующей диагональю, то естьто метод Зейделя сходится при любом начальном приближении x 0.

Метод Зейделя сходится примерно так же, курсовая работа по решению линейных уравнений геометрическая прогрессия со знаменателем G. Если курсовая работа по решению линейных уравнений матрицы G близка к 1, то скорость сходимости очень медленная.

Для ускорения сходимости используется метод релаксации. Суть его в том, что полученное по методу Зейделя очередное значение курсовая работа по решению линейных уравнений по формуле: Параметр w подбирают так, чтобы сходимость метода достигалась за минимальное число итераций. Погрешность итерации вычисляется по формуле: Если d меньше заданной точности e, то итерационный процесс прекращают.

Элементы главной диагонали называются главными. Заметим, что если в ходе расчётов по данному алгоритму на главной диагонали окажется нулевой элемент, то произойдет сбой программы. Для того, чтобы избежать этого, следует перестановку строк таким образом, чтобы на главной диагонали находились максимальные элементы строк. Такой выбор главного элемента необходим для сходимости итерационного процесса. Приведём блок-схему реализации данного метода:

VK
OK
MR
GP