Уникальные учебные работы для студентов


Контрольная применение производной к исследованию функции

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. При решении прикладных задач бывает нужно найти глобальные экстремумы функции на некотором промежутке. Если этот промежуток является отрезком, то экстремумы функция может достигать как в точках экстремума, так и на концах отрезка.

Найти наибольшее значение функции на отрезке. Данная функция является непрерывной на данном отрезке так как знаменатель не обращается в нульа следовательно, может принимать экстремальные значения либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Вычислим значения функции в точке экстремума и на концах отрезка: Функция называется выпуклой вверх выпуклой на промежутке Х. График выпуклой на промежутке Х функции расположен над любой ее секущей и под любой ее касательной на этом промежутке. Аналогично вводится определение функции, выпуклой вниз вогнутой. Пусть функция дифференцируема в интервале а,в.

Тогда для выпуклости функции вниз необходимо и достаточно, чтобы монотонно возрастала на этом интервале.

Для выпуклости функции вверх необходимо и достаточно, чтобы монотонно убывала на этом интервале. Следствие достаточное условие выпуклости. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции неотрицательна неположительна внутри некоторого промежутка, то функция выпукла вниз вверх на этом промежутке.

Точки, в которых график функции меняет направление выпуклости, называются точками перегиба графика функции. Абсциссы точек перегиба являются точками экстремума первой производной. Теорема необходимое условие точки перегиба.

Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю: Абсциссы точек, в которых выполняется необходимое условие, называются критическими точками второго рода.

Библиотека

Если перегиб графика есть, то только в таких точках. Теорема достаточное условие точки перегиба. Пусть контрольная применение производной к исследованию функции дважды дифференцируема в интервале а,в. Тогда если вторая производная при переходе через критическую точку второго рода меняет знак, то точка является точкой перегиба графика функции. Если смены знака второй производной не происходит, то перегиба графика в точке .

VK
OK
MR
GP